理解「權」與加權平均數

一般而言，若 $n$ 個數 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的權分別為 $w_1, w_2, \cdots, w_n$，則：

$\frac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_nw_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$

稱為這 $n$ 個數的加權平均數（weighted average）。權（weight），代表數據的重要程度。權越大，該部分數據對最終平均數的影響力就越強（如同物理天平上較重的砝碼會使支點靠近它）。

頻數作為權：處理群集數據

在統計大規模數據時（例如「例6 商場服裝部」營業員的月銷售額，或跳水隊運動員的年齡調查），相同的數值會多次出現。此時，出現的次數（頻數）自然成為該數值的權。

在求 $n$ 個數的平均數時，若 $x_1$ 出現 $f_1$ 次，$x_2$ 出現 $f_2$ 次，$\cdots$，$x_k$ 出現 $f_k$ 次（其中 $f_1+f_2+\cdots+f_k=n$），則這 $n$ 個數的平均數：

$\bar{x} = \frac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{n}$

也稱為這 $k$ 個數的加權平均數，其中 $f_1, f_2, \cdots, f_k$ 分別稱為 $x_1, x_2, \cdots, x_k$ 的權。透過此方式計算出的月銷售目標，可過濾個別極端高銷量的干擾，真實反映大多數營業員的普遍實力，從而制定出兼具挑戰性與可行性的獎勵制度。

組中值的智慧折衷

當數據被粗略分配至不同區間（數據分組）時，我們失去個體的具體數值。此時，一個小組的組中值是指該小組兩個端點數值的平均數。例如將區間中點與該區間的頻數相乘，即形成經典的加權計算模式：

$\bar{x} = \frac{11 \times 3 + 31 \times 5 + 51 \times 20 + 71 \times 22 + 91 \times 18 + 111 \times 15}{3+5+20+22+18+15}$